失業保険については他に回答がある通り、扶養のまま受給できます。

２年間扶養範囲内（年収１２５万円）でパートで働いてきた会社を５月に自己都合退職しました。
月額８～９万程の収入でプラス年間２０万ほどの寸志がありましたが、失業保険受給日額も低いと思われますので、このまま主人の扶養に入ったままで失業保険を受給してもいいのでしょうか？

今まで一度も主人の扶養から外れたことはなく、今度も外れる予定はないのですが、友人に失業保険受給中は扶養から外れないといけないと言われびっくりしました。

また５月に県外へ引っ越しの為退職したので、以前住んでいた市から昨年度の市民税の振込用紙が送られてきました。

この税金も自分で支払わないといけないのでしょうか？

以前も扶養範囲内で働いていて、自己都合退職し失業保険を受給した事があるのですが、受給中に自分の市民税を別途支払いに行った記憶はないように思います。

保険に詳しい方がいらっしゃったら、どうか教えてください。

税法上の扶養にはあたりませんので、健康保険の扶養の件でよろしいのですよね。
失業保険については他に回答がある通り、扶養のまま受給できます。

市民税の所得割はパート収入が約１００万円以下（お住まいの市町村により違います）の場合は課税されませんが、超えた場合は超えた分について課税されます。
昨年の収入が１００万円を超えてらっしゃるのではないでしょうか？
その場合、請求がきた分については支払わないといけません。

失業保険について教えて下さい。
今は正社員として働いていますが、転職を考えて就活中です。

面接に行った会社で内定しましたが、新規事業の開始からの雇用ではっきりした日にちはまだわかりませ。
近々、今の会社を退職して自宅待機の予定ですが内定がある場合は失業保険の需給はできませんよね？又、次の会社で正社員になるまでの間社会保険の任意継続の手続きをしたいのですが、それは可能ですか？

失業保険は、職安に相談してみるのがいいかと思います。
（内定先に開始予定の進み具合など確認もされていた方が説明しやすいかと）

社会保険は、健保と厚生年金に分かれますが、

厚生年金は、任意継続はありません。
（経過措置で第４種被保険者というのはありますが、Ｓ16年生まれとか、Ｓ61年時点で厚生加入歴10年等、上の方の年齢が対象になるので、文面から該当しそうにないような･･･）

健保は、加入期間が２月以上あれば任意継続できます。
喪失日から20日以内に、自分で保険者（協会or健康保険組合）へ手続きします。

任意継続の際、保険料は会社在籍中は半額会社が払っていたものが、全額自己負担となります。
国保の保険料と比べて安い方に加入を決められてはいかがでしょうか？
（国保と、社保健保では、扶養家族分の保険料計算方法が違います）

失業保険について、結局どのくらい、どんな感じでもらえるのでしょうか？
サイト等見てみましたがよくわかりません。

先ほど、業績不振で1ヶ月分しか給料が保証できないと社長から話がありました。
本日付の通告で、1ヵ月後にはほとんどの社員が会社都合の退職になるとのこと。
（会社は存続させたいので身内だけで細々つないでいくつもりのようです）
その間に就職活動などしてくださいと言われました。
会社都合で離職票をすぐに出す準備はあるといわれたので、失業保険を受給したほうが得なのか？考えてみました。
失業保険のサイトを色々見てみましたが、私の場合具体的にどのくらいもらえることになるのかよくわかりません。

・退職（予定)時、30歳
・今の会社は5月で丸2年在籍
・雇用保険には平成11年4月1日にに加入。最初の会社を平成19年3月末に退職し、今の会社に19年5月付けで入社しました。（試用期間はなく、最初から正社員扱い）→10年以上加入になりますよね？
・月給は税法上支給額が23万円。去年の途中までは基本給23万だったのですが、秋頃から基本給184,000円、時間外休日手当46,000円に変更されていますが計算が変わってきますか？（振り込まれる金額が変わらないので・・・ということで了承してしまいました）

すぐに就職活動したいところですが、この不景気に私のようないくらでも代わりがいる事務職が転職できる気がしません・・・。
額面は少なくなりますが失業保険がすぐに受給できるようなら退職後受給しながらハローワークで求職したほうがいいですか？

それと、失業保険というのはどのように振り込まれるのでしょうか？
月額でもらえるのですか？
計算した金額がそのまま振り込まれますか？

質問ばかりですみません。
詳しい方がいらっしゃいましたら、どれかひとつでもお答えいただけたら嬉しいです。
先行きが不安でたまりません・・・

間違っていたらごめんなさい。

おそらく日額が４６００円程度。
会社都合なので、所定給付日数が２１０日。
認定日から次の認定日まで通常２８日なので、４６００×２８が振り込まれるわけです。
きちんと求職活動をして、認定日に認定してもらえれば、振り込まれます。

ただ、会社を変わる時に失業給付金や再雇用手当をもらっていなかった場合です。

パートの失業保険について
パートの失業保険はどのように計算されるのでしょうか？時給×時間数とかで基本給を計算するのでしょうか？よろしくおねがいします。（雇用保険は数年かけてもらっております）

一般被保険者の基本手当日額は、離職前6ヶ月の月額給与の「1/180」の60％程度。短時間被保険者の場合は12ヶ月分が基礎となります。